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有关形状误差与位置误差的测量

一.圆度仪主要功能 

可快速测环形工件的圆度、表面波纹度(Wc、Wp、Wv、Wt、Wa、Wq、Swm)、谱分析、波高分析、、同心度、垂直度、同轴度、平行度、平面度、轴弯曲度、偏心、跳动量等。 


二.圆度误差测量仪器很多,然而使用不同仪器会产生不同测量误差。本文介绍了用光学分度头测量圆度误差时所建立的数学模型,分析了各种误差对测量误差的影响,从而为在保证测量精度的同时降低测量成本提供了理论依据。 


1 圆度误差的测量 


1.1测量方法 


圆度误差的评定方法有4种:最小包容区域法,最小外接圆法,最大内切圆法,最小二乘法。 由于最小二乘法简便易行, 长期以来甚为流行。 测量圆度误差的方法虽有多种,但最为合理、用得最多的是半径法。 为此,通过采用半径测量法在光学分度头上用千分表测量圆度误差,并对测量数据进行最小二乘法计算,以求得圆度误差值。 测量时, 将被测量工件顶在光学分度头的两顶尖间, 将指示表置于被测量横截面上,测量其半径的变化量Δr, 即利用光学分度头将被测圆周等分成n个测量点,当每转过一个θ=360°/n角时,从指示表上读出该点相对于某一半径R0的偏差值Δr,由此测得所有数据Δri。 


1.2建立数学模型 


见图1,若实际被测表面的位置用极坐标(ri,θi)来表示,则 

ri=ecos(θi-α)+[(R+Δri)2-e2sin(θi-α)]1/2。..........(1) 

式中:i--测点数,i=1,2,……,n; 

Δri--半径偏差观察值; 

e--最小二乘圆圆心O1(a,b)的偏移量,a=ecosα,b=esinα。 

由于圆度误差精度测量的特点,在测量之前必须调整零件的回转轴线,使a,b之值较小,满足“小偏差假设”, 并且零件的圆度误差和其半径相比是微量,称为“小误差情况”,于是式(1)近似为ri=e(θi-α)+R+Δri,因此根据最小二乘法原理有 

E2=∑ni=1Δr2i=∑ni=1〔ri-R-ecos(θi-α)〕2=min。 …(2) 

根据э(E2)/эR=0,э(E2)/эe=0,э(E2)/эα=0,可得 

∑ni=1ri-nR-e∑ni=1cos(θi-α)=0 

∑ni=1ricos(θi-α)-R∑ni=1cos(θi-α)-e∑ni=1cos2(θi-α)=0 ....(3) 

∑ni=1risin(θi-α)-R∑ni=1sin(θi-α)-e∑ni=1cos(θi-α)sin(θi-α)=0。 

如果各测点均布圆周,且n充分大,则 

∑ni=1cos(θi-α)=0,∑ni=1sin(θi-α)=0, 

∑ni=1cos2(θi-α)=n/2,∑ni=1sin2(θi-α)=n/2, 

∑ni=1cos(θi-α)sin(θi-α)=0,经简化计算,式(3)的解为 

a=2/n∑ni=1Δricosθi 

b=2n∑ni=1Δrisinθi 

Δr=1/n∑ni=1Δri 

R=R0+Δr。...........................(4) 

于是,被测圆上各点到最小二乘圆之径向距离为εi=Δri-Δr-acosθi-bsinθi,则圆度误差为Δf0=εmax-εmin。 


2 误差分析 


2.1 量仪的回转精度引起的误差 


回转轴线在回转过程中,对轴线平均位置的相对位移即为回转误差运动。误差运动使回转轴在每一瞬时发生轴向窜动和径向跳动,使被测工件一转内的采样点不全在一个横截面内,从而使各采样点间的相关性降低。但是,由于轴向窜动一般很小,而实际工件被测表面是平滑的,测头在被测表面采样时,也不可能是纯粹的点接触,而是小面积接触,因此轴向窜动对测量精度的影响可以忽略。 


径向跳动误差将直接传递到采样数据Δri中,进而影响最小二乘圆心坐标的计算精度。由式(4)可得〔2〕da=db<2d√nd(Δrmax)。因此, 径线回转精度是圆度误差测量中极为重要的精度指标。对于光学分度头,是用顶尖装夹工件,其回转精度则由顶尖精度和被测工件顶尖孔的形状精度共同决定。 


2.2 偏心e引起的误差 

由于测量时的回转中心O与最小二乘圆的圆心O1不重合,存在偏心e=OO1,式(2)中Δri=ri-R-ecos(θi-α)是式(1)用R+Δri代替[(R+Δri)2-e2sin2(θi-α)]1/2(其中α=arctgb/a)得到的,所以e引起的误差为δe=R+Δri-[(R+Δri)2-e2sin2(θi-α)]1/2,把上式展开成Talor级数得δe=e2/2(R+Δri)sin2(θi-α),因sin2(θi-α)≤1,且R+Δri≈ri,则δemax=e2/2ri。由于e是微米级,ri是毫米级, 所以此项误差一般很小,可忽略。 


2.3 测头安装误差 

测头安装误差示意见图2。当测头的位置不通过被测工件的轴线而偏离距离为Δ时,则相应的偏离角为:θ=arcsinΔR,若被测表面半径有增量Δr时,测头的实际位移为AB,其测量误差δθ=AB-Δr,因为Δr,AB<<R,∠ABO≈θ,则Δr=ABcos∠ABO≈ABcosθ,所以δθ≈Δrcosθ-Δr=(1/cosθ-1)=2sin2θ/2Δr。 

由于θ角很小,用θ弧度值代替sin(θ/2)得δθ=AB-Δr≈2sin2(θ/2)Δr=θ2/2Δr。因此,测头安装误差很关键,尤其在测小直径时必须注意测头位置。通常应使θ≤10°,即e/R≤0.15,此时δθ≤2%。 


2.4 测点数对测量误差的影响 

由于在轮廊上实测有限数量的点来代替被测实际轮廊的全貌, 在原理上就存在了误差。为了减少此误差, 应合理选择测点数。用计算机对圆度谐波进行模拟,利用数值积分可以求出对应于一定谐波时各种测点的不确定度, 随测点数增加, 测量不确定度下降。 


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